「母性優先の原則」、「継続性の原則」によって判断されます。

養育費や財産分与が決まらなくても離婚できますが、離婚後、誰が親権者として子供を育てるかを決めないと離婚そのものができません。
どちらが親権者になるかは、「母性優先の原則」、「継続性の原則」によって判断されます。母性優先の原則とは子供の成長にとって母親に育てられるのが好ましいという考えであり、継続性の原則とは、夫婦の一方が現実に子供を育てており、子供がその環境下で平穏に生活しているのであれば、今育てている親が親権者となるべきという考え方です。
子供が成長して、自我が十分育っている場合には（目安は中学生くらい）、子供の意見を聞くこともあります。父親が子供を育てている場合には、それが一時的なもの、短期間のものであれば、母性優先の原則に従い、妻が親権者となることが多いでしょう。

収入の多さだけで決まるわけではありません。

夫の言い分は「俺のもとに子供を寄越せば金は出すが、そうでなければ金は出さない」と言っているのと同じで、かなり乱暴な言い分です。おそらく、調停委員や裁判所の賛同は得られないでしょう。夫が家庭裁判所にそのようなことを言っても、裁判所からは、「では、お父さんが十分な養育費を送ってあげたらどうですか」と言われるだけです。

不貞行為のみを理由に、親権者と認められなくなることはありません。

親権は子供のための制度ですので、不貞行為をした罰として、親権者になれなくなるということはありません。
ただし、交際に夢中で小さい子供を放って外泊する、交際にお金を使い過ぎる、子供と交際相手の仲が悪い、子供に暴力をふるうなどの事情があれば、親権者としてふさわしくないと判断される可能性が高くなります。

子供の年齢や、養育費の支払い状況によります。

子供が幼児で、その生命、身体、健康の安全に危惧があるような状態であれば、親権者の変更も認められるかもしれません。
しかし、あなたが養育費を払っていないため、元妻が夜の仕事をせざるを得なくなっているのだとすれば、逆に養育費の支払いを求められるでしょう。
子供がある程度成長しており、子供に深夜徘徊等、生活の乱れがなく、安定していれば、親権の変更までは認められないことが多いです。夫婦の一方が現実に子供を育てており、子供がその環境下で平穏に生活しているのであれば、今育てている親が親権者となるべきという「継続性の原則」がありますので、親権の変更は容易には認められません。

「子の氏の変更許可申立」をしてください。

家庭裁判所に「子の氏の変更許可申立」をしましょう。その許可を得て初めて母の姓となり、母の戸籍に入ります。